4.拓扑与量子场论

发贴人:erge
发表时间:2001年10月10日15:34:22 星期三

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4 拓扑与量子场论
1995年初的一天晚上，我在家看晚间电视新闻。突然，我听到自己的名字，大吃一惊。

原来加利福尼亚发一种彩票，头彩300万美元，若无人中彩的话，可以积累到下一次抽
彩。我从前的一个学生，名Robert Uomini, 中了头彩美金2200万元。他曾选过我
的本科课，当时还对微分几何很有兴趣。他很念旧，以100万美元捐赠加州大学，设立
“陈省身讲座”。学校决定，以此讲座邀请名学者为访问教授。第一位应邀的为英国数
学
家Sir Michael Atiyah. 他到中国不止一次。他是英国影响最大的数学家，剑桥
大学三一学院的院长，则卸任的英国皇家协会会长。Atiyah很会讲学，也很博学，他
的报告有很大的吸引力。他作了八讲，讲题是“拓扑与量子场论”。
这是当前一个热门的课题，把高深的数学和物理联系起来了，导出了深刻的结果。现在

拓扑在物理上有非常重要的应用，这跟杨振宁的Yang-Mills场方程有很密切的关系。
杨先生喜欢说，你们数学家写的东西，我们学物理的人看不懂，等于另外一种文字。我
想
我们搞数学的人有责任把我们的结果，写成不是本行的人也至少知道你讲的是怎么一回
事。
物理学，量子力学，尤其是量子场论与数学的关系其实并不复杂。说到数学的应用，讲
一
下矢量空间，Euclid空间就是一个矢量空间。再进一步，多个矢量空间构成一个拓扑空
间
，这就是所谓的矢量丛，即一束这样的空间。这样的空间有一些简单的性质。比如说，
局部
来讲，这种矢量空间是一个chart，是一个集，可用坐标来表示。结果发现矢量丛这种
空间在物理上很有用。物理学的一个基本观念是“场”。最简单的场是电磁场，尤为近

代生活的一部分。电磁场的“势”适合Maxwell方程。Hermann Weyl第一个看出这个
势不是一个确定的函数。它可以变化。这在物理上叫做规范(gauge, 不完全确定的，
可以变化的),这就是物理上规范场论的第一个情形。
物理上有4种场：电磁场，引力场，强作用场和弱作用场。现在知道，这些场都是规范场
。
即数学系上是一束矢量空间，用一个线性群来缝住的。电磁场的重要推广，是Yang-Mil
ls
的规范场论。杨先生的伟大贡献就是在SU(2)(special unitary group in two
variables)情形下得到物理意义明确的规范场，即同位旋(isospin)规范场，这种将
数学现象给以物理的解释，是件了不起的工作，因为以往的Maxwell
场论是一个可交换的群。现在变为在SU(2),群是不能交换的。而实际上，物理中找到了

这样的场，这是科学上一个伟大的发展。数学家可以自豪的是，物理学家所需的几何观
念和
工
具，在数学上已经发展了。
杨先生之所以有这么大的成就，其中一个很重要的，很了不起的原因是除了物理的感觉
以外
，
他有很坚实的数学基础。他能够在这大堆复杂的方程中看出某些规律，它们具有某种基
本的
数
学性质。Yang-Mills方程的数学基础是纤维丛。这种观念Dirac就曾有过。Dirac的一
篇基本论文中就讲到这种数学。但Dirac没有数学的工具。所以他在讲这种观念时，不但
数
学家不懂，就连物理学家也不懂。不过，其中有一个到现在还未解决的物理含义，即有
否磁
单
极(magnetic monople)。可能会有。就是说，有否这样的场，它的曲率不等于0(曲率
是度量场的复杂性的)?物理上要是发现了这种场，会是件不得了的事实。这些观念的数
学不
简
单。
Yang-Mills方程反过来影响到拓扑。现在的基础数学中，所谓低维拓扑(二维，三维，四

维)非常受人注意。因为物理空间是四维空间。而四维空间有许多奇妙的性质。我们知道
代
数
几何，曲线论，复变函数论等许多基础数学理论是二维拓扑。而现在必到四维，四维有

spinor理论，有quantum结构。四维与物理更接近。它的结构是Lorentz结构，而不是
Riemann结构。这方面有很多工作可做。根据Yang-Mills方程，对于四维拓扑，
Atiyah的学生英国数学家Simon Donaldson有很重要的贡献。其中有一个结果就是利
用Yang-Mills方程证明四维Euclid空间R4有无数微分结构与其标准结构不同。这一结
果最近又由Seiberg-Witten的新方程大大的简化了。这是最近拓扑在微分几何，理论物

理应用方面最引人注意的进展。
二维流形的发展有一段光荣的历史，牵涉到许多深刻的数学，可以断言，三维，四维流
形将
更
为丰富和神妙。